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《深度学习》 3.13 信息论
- 信息论的基本想法是：一件不太可能的事发生，要比一件非常可能的事发生，提供更多的信息。
- 该想法可描述为以下性质：
- 非常可能发生的事件信息量要比较少，并且极端情况下，一定能够发生的事件应该没有信息量。
- 比较不可能发生的事件具有更大的信息量。
- 独立事件应具有增量的信息。例如，投掷的硬币两次正面朝上传递的信息量，应该是投掷一次硬币正面朝上的信息量的两倍。
信息熵 与 自信息
自信息（self-information）是一种量化以上性质的函数，定义一个事件
x的自信息为：$I(x)=-\log P(x)$
当该对数的底数为自然对数 e 时，单位为奈特（nats）；当以 2 为底数时，单位为比特（bit）或香农（shannons）
自信息只处理单个的输出。
信息熵（Information-entropy）用于对整个概率分布中的不确定性总量进行量化：
$H(\mathrm{X})=\mathbb{E}{\mathrm{X} \sim P}[I(x)]=-\sum{x \in \mathrm{X}}P(x)\log P(x)$
信息论中，记
0log0 = 0
交叉熵 与 相对熵/KL散度
定义 P 对 Q 的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）：
$D_P(Q)=\mathbb{E}{\mathrm{X}\sim P}\left [ \log \frac{P(x)}{Q(x)} \right ]=\sum{x \in \mathrm{X}}P(x)\left [ \log P(x)-\log Q(x) \right ]$
KL 散度在信息论中度量的是哪个直观量？
- 在离散型变量的情况下， KL 散度衡量的是：当我们使用一种被设计成能够使得概率分布 Q 产生的消息的长度最小的编码，发送包含由概率分布 P 产生的符号的消息时，所需要的额外信息量。
KL散度的性质：
- 非负；KL 散度为 0 当且仅当P 和 Q 在离散型变量的情况下是相同的分布，或者在连续型变量的情况下是“几乎处处”相同的
- 不对称；D_p(q) != D_q(p)
交叉熵（cross-entropy）：
$H_P(Q)=-\mathbb{E}{\mathrm{X}\sim P}\log Q(x)=-\sum{x \in \mathrm{X}}P(x)\log Q(x)$
信息量，信息熵，交叉熵，KL散度和互信息（信息增益） - CSDN博客
交叉熵 与 KL 散度的关系
针对 Q 最小化交叉熵等价于最小化 P 对 Q 的 KL 散度，因为 Q 并不参与被省略的那一项。
$H_P(Q)=H(P)+D_P(Q)$
最大似然估计中，最小化 KL 散度其实就是在最小化分布之间的交叉熵。
《深度学习》 ch5.5 - 最大似然估计